Tratamiento didáctico de la medida

¿En un día corriente en cuantas situaciones aparece la estimación, comparación o medida de alguna magnitud?

Durante el día realizamos un sin fin de estimaciones, comparaciones y medidas de las cuales quizás no nos demos ni cuenta. Por ejemplo; estimamos cuanto queda para cruzar, al hacer la comida, el dinero para la compra... También comparamos los precios de la gasolina o cualquier producto, si un objeto es mas grane u otro... Al igual que medimos magnitudes al comprar frutas, al aparcar el coche, etc.

Ahora piensa en las siguientes cuestiones:

 Cuando eras escolar, ¿había un aula instrumental de medida, tales como cuerdas, varillas, balanzas, probetas, cronómetros, etc? ¿Y en las aulas actuales?

 ¿Tuviste que medir alguna longitud?, ¿calculaste la superficie de algún objeto real?, ¿mediste de forma práctica?

Cuando era pequeña, mi escuela no disponía de ningún aula instrumental o al menos no recuerdo dicha aula, lo cual significa que le daríamos muy poco uso, por lo que tampoco manejamos muchos instrumentos de medida diferentes.

Hoy en día disponemos de más recursos por lo que debemos aprovecharnos de ello como docentes. Brindarles a nuestros alumnos un sinfín de experiencias a través de las cuales éstos puedan aprender de forma activa, acercarlos al mundo real mediante experiencias reales para que ellos puedan llegar a entender lo que se les explica. 

Por ello esta entrada:

En referencia a la medida, la escuela suele tratarla de forma algorítmica, trabajando las equivalencias entre unidades de forma mecánica, olvidando la medición efectiva de objetos.

No podemos olvidar que el conocimiento de la medida de magnitudes es esencial para que el alumno comprenda su entorno y maneje datos de carácter vital en su desarrollo. La medida es un instrumento fundamental en relación con otras áreas del currículo, permitiendo un mejor tratamiento de la transversalidad.

Existen diferentes entornos de medida como son los objetos de soporte, magnitudes consideradas, cantidades de magnitud, aplicación de medida, orden de la magnitud, medición...

Respecto a la realidad escolar en cuanto a medida existen una serie de "errores" que se suelen cometer en la escuela. Son los siguientes:

• Prácticas escolares homogéneas: se hacen actividades formales centradas en conversiones de medida sin entrar en estimaciones y aproximaciones.

• Escaso manejo de instrumentos de medida: no se manejan instrumentos de medida, se limita al usa de la cinta métrica y la balanza.

• Ignorancia de lo métodos de medición y de los instrumentos de medida: esto lleva a prácticas defectuosas.

• Incapacidad de los alumnos de distinguir ciertas magnitudes: como confusiones entre perímetro, área, masa y volumen.

También se cometen errores que son atribuibles a la metodología tradicional:

•  Uso erróneo de los sentidos.
•  Uso de instrumentos inadecuados y mal manejo de ellos como usar la regla graduada para  medir la longitud de una curva.
•  Errores debidos a malos procedimientos o elecciones de unidades inadecuadas.
•  Resolución de problemas con datos erróneos o no reales que confunden a los alumnos.
• Abuso de la exactitud en las medidas: hay que usar medidas reales en las que aparecen aproximaciones y estimaciones. 
• Escrituras erróneas o sin sentido que confunden a los alumnos.
• Carencia de estrategias para medir objetos comunes.

Fenómenos de enseñanza asociados a la medida:

•  Situación de saberes: la medida es una excusa para trabajar aritmética y números.
• Aritmetización de la medida: reemplazamos magnitudes por nº.
• Dialéctica medida exacta/aproximada ya que no se presenta a los alumnos situaciones de estimación y aproximación.
• El papel y la categoría de los errores no se examinan, no se habla en la escuela de errores absolutos, relativos, errores de calculo y redondeo.

Ejercicios con los que los alumnos puedan manejar situaciones reales.

• Otro ejercicio es la realización de un taller en el que los alumnos deban medir algo fuera de la escuela para luego usarlo dentro como referencia de medida.

Más ejercicios: 

•  Describir situaciones en las que la medición implique acción y otras en las que sólo sea una actividad mental.
•  Relacionar cantidades de magnitud a medir con la unidad más adecuada.
•  Proponer una actividad al niño en la que deba elegir una unidad de medida y el instrumento más adecuado.
•  Citar instrumentos de medida, para distintas magnitudes, que todo ciudadano debe conocer.
•  Diseñar una actividad en la que se especifique qué medir, qué unidad utilizar en la medida y el procedimiento a seguir.

Reflexiones

Debemos intentar que nuestros alumnos manejen la medición de forma real, con objeto de su entorno diario con los que ellos se familiaricen. Para ello, los alumnos, pueden no solo usar instrumentos de medida específicos para cada cosa, sino que pueden usar, por ejemplo sus propias partes del cuerpo para medir, como se ha visto en el ejercicio de la figura del zapato.

La ignorancia sobre los instrumentos a usar también influye bastante en que no realicemos este tipo de ejercicios o que no los hagamos bien.

Se deben realizar actividades con nuestros alumnos donde manipulen tanto el marco aritmético como geométrico.

Para este tipo de actividades  también veo de vital importancia que se cree una conexión entre el maestro y los alumnos para que el conocimiento aflore y despierte las inquietudes de los alumnos.

Como maestros tampoco debemos intentar que los resultados que saquen nuestros alumnos siempre sean exactos sino reales, como las cosas que nos rodean.

El azar y la probabilidad

Los estudios de Fischbein prueban que los niños, incluso desde preescolar tienen capacidad para procesar informaciones de carácter probabilístico de forma significativa, siendo útil y positiva la instrucción sobre estas cuestiones.

Por otra parte, los modelos probabilísticos son el fundamento de la mayor parte de la teoría estadística.

Es importante que en la escuela se enseñe a los niños el carácter específico de la lógica probabilística, la forma de distinguir grados de incertidumbre y que se les enseñe a comparar sus predicciones y extrapolaciones con lo que realmente sucede; en definitiva, que se les enseñe a ser dueños de su propia incertidumbre

AZAR Y LENGUAJE

Aleatorio es algo incierto, que depende de la suerte o el azar.

Azar

Entendemos por azar la supuesta causa de los sucesos no debidos a una necesidad natural ni a una intervención intencionada humana ni divina.

Algunos términos del lenguaje ordinario relacionados con el concepto son: casual, accidental, eventual, fortuito, impensado, imprevisible, inesperado, inopinado, ocasional, por suerte, etc.

En muchas ocasiones se aprecia el azar como algo desconocido porque no se sabe que va a pasar. Hay que conocer el limite entre el desconociemiento y el azar.

Aquí presento un situación didáctica en la que los alumnos sepan diferenciar lo imposible, probable y seguro:

Realizaremos tres ejemplos diferentes en el que los alumnos puedan apreciar un serie de sucesos para entender la diferenciación entre dichos términos:

- Imposible: tirar una moneda y que vean que es imposible que se quede en el aire.

- Probable: tirar una moneda y que salga cara o cruz.

- Seguro: tirar una moneda y que caiga al suelo.

Será el mismo alumno el que lo compruebe, porque debe entender la diferenciación entre los tres conceptos.

El azar en la realidad

Mundo biologico: genetica, medicina, agricultura. 

Mundo físico: meteorologia, medidas de magnitudes.

Mundo social: pólizas de seguros, transporte.... 

Mundo político: estadística de población, IPC, demografía..

Probabilidad

La probabilidad es una medida matemática que expresa con que frecuencia esperamos que un evento ocurra.

No asegura que un evento va a acurrir, solo nos orienta para conocer mejor su comportamiento.

Es un número entre 0 y 1 y se pede expresar como una fracción, como número decimal o en porcentaje.

Probabilidad 1 significa que el evento claramente va a ocurrir.

Probabilidad 0 quiere decir que el evento ciertamente no acurrirá.

Regla de Laplace

Definición clásica de probabilidad: La proporción del número de casos favorables al número de casos posibles, siempre que todos los resultados sean igualmente probables.

Axiomática de Kolmogrov de probabilidad

Es la suma de las probabilidades

Por ejemplo: ¿En un dado cuantos números pares pueden salir? 3/6 ¿Y cuanto impares? 3/6. Es decir: 0,5 y 0,5. 

Como dice Kologrov si sumas estas dos probabildades el resultado será 1 -->  0.5 + 0.5 = 1 

Orientaciones metodológicas para el tratamiento de la probabilidad:

Para el azar y la probabilidad se orientará el trabajo hacia:

- Desarrollar y evaluar inferencias y predicciones basadas en datos; discutir sucesos probables e improbables relacionados con las experiencias de los alumnos.

- Experimentos aleatorios con dados, cartas, ruletas, etc.

- Comprender y aplicar conceptos básicos de Probabilidad.

Experimentos aleatorios

- Extracción de bolas de una urna o de una bolsa.

- Lanzamientos de dados.

- Lanzamiento de chinchetas.

- Lanzamientos de monedas.

- Apuestas.

- Juegos familiares de azar.

- Prensa, estadística y azar.

La ley de los grandes números

Si tiras una moneda mil veces hay mas probabilidad de obtener un resultado fifty fifty (50% de cada).

La ley de los grandes numeros explica que cuando un experimento se repite muchas veces tiende a estabilizarse.

 Por ejemplo si tiras un dado un millon de veces lo mas probable es que una sexta parte sean 1 la otra sexta parte 2, la otra 3, la otra 4 …. hasta 6. No habrá mucha diferencia.

Ejercicios

Para que los alumnos puedan aprender y jugar a su vez podemos traer a clase recursos como los que aparecen en las fotografías.

Tratamiento didáctico de la estadística y la probabilidad

Tema 3: Didáctica de las magnitudes y medidas relacionadas con el análisis de datos y el pensamiento estadístico elemental.

Sentido y razonamiento estocástico:

Expresa un uso instruido de los contenidos de Estadística y Probabilidad. Se ejercita formulando cuestiones cuya respuesta no está determinada de forma concluyente, para después recoger, organizar y presentar datos de diversa índole que ayuden a interpretar las cuestiones mencionadas.

También se pone en práctica este sentido al seleccionar, usar y validar métodos estadísticos de interpretación de datos.

El llamado sentido estocástico representa el sentido matemático usado en situaciones no deterministas, a fin de obtener unas conclusiones coherentes.

Mientras que el razonamiento estadístico se puede definir como la forma en la que las personas argumentan, hacen inferencias y dan sentido a la información con conceptos y propiedades estadísticas, por razonamiento probabilístico se puede entender la manera de analizar y argumentar, de formular, interpretar y demostrar enunciados probabilísticos.

En esta gráfica, por ejemplo, podemos ver como se nos proporcionan una serie de datos, pero erróneos con una información un poco confusa. 
Se pueden observar errores comolos siguientes:
En el año 2000 y 2004 se dan unos datos diferentes, sin embargo, están mal proporcionadas ya que la barra de 27 mide casi lo mismo que la de 12. Otro error que podemos apreciar es que las dos barras que miden 31 según indica el número, pero no miden lo mismo. Al igual que los porcentajes de 22.5, tienen el mismo porcentaje pero una barra es más larga que la otra. 

Probabilidad

Es la identificación de situaciones aleatorias. La cuantificación del grado de incertidumbre.

Estadística

Es la búsqueda y obtención de datos, el resumen estadístico de la información. 

La probabilidad y estadística son los componentes básicos del sentido estocástico.

El determinismo expresa la convicción de que fenómenos y sucesos del mundo físico obedecen a leyes naturales, leyes que lo predeterminan y regulan, cuyo descubrimiento y estudio resultan factibles

La aleatoriedad es un fenómeno cuyas causas no se conocen y que no se puede predecir. Son situaciones de carácter imprevisible. 

En Primaria los alumnos deben aprender a cuantificar la incertidumbre. Para ello tienen que distinguir entre “imposible”, “poco probable”, “muy probable” y “seguro”. Por lo tanto debemos hacer que los alumnos sepan distinguir estos conceptos.

Tratamiento de información

- Obtencion de datos: Los alumnos se cuestionan para obtener datos de su entorno, política, economía, publicidad, investigaciones médicas, etc.
Si por ejemplo realizamos un ejercicio con nuestros alumnos deberiamos hacer actividades en las que busquen cosas relacionadas a su entorno habitual.

- Análisis de datos: Estadística descriptiva. Organiza, presenta e interpreta los datos obtenidos

aquí entran en juego las tabulaciones, media, mediana, moda, frecuencias, etc.

- Estadísitica inferencial: no es del nivel de primaria.

Ejercicios

Hay 10 personas en un ascensor, 4 mujeres y 6 hombres. El peso medio de las mujeres es de 65 kilos y el de los hombres 90. ¿Cuál es el peso medio de las 10 personas?

María y Luis forman una pareja; ella mide 1.69 y él 1.71. Otra pareja la forman Cecilia y Jorge; ella mide 1.45 y su novio, jugador de baloncesto, 1.95. Halla la altura media de cada pareja. ¿Es suficiente esta medida para describir lo desiguales que son ambas parejas? ¿Cuál o cuáles medidas propondrías?

Las dos gráficas de las imágenes también son bastante interesante para trabajar con los más pequeños de una forma interesante y crecana a su entorno.

A partir de este diagrama de sectores, podemos trabajar con los alumnos más mayores y pedir que la analicen. Por ejemplo: Hacer un informe sobre la cantidad de viajes que se producen durante los meses que aparecen.

¡¡En este tipo de actividades debemos intentar usar fuentes de información que estén a nuestro alrededor y podamos dar un uso pedagógico!!

En la gráfica que aparece a continuación solo podríamos medir la moda, ya que se trata de datos cualitativos y no cuantitativos.

Actividad con elementos cuantitativos: medir la mediana, la moda y la media.

Para la introducción de la estadística, podemos realizar esta actividad, en la que midamos los tres elementos mencionados, mediana,moda y media.

Para ello pedimos a los alumnos que trabajemos estadísticamente (a partir de una cuadro que el profesor les pondrá y explicará en la pizarra) el número de deportes que hacen a la semana. Una vez hayan obtenido los datos y hecho la media comparán cual de los dos grupos realiza mas deportes a la semana.

Por último, a partir de los resultado que hayan obtenido los alumnos en cada grupo podrán realizar un diagrama de barras con el que podrán comparar también.

Ésta es una forma de introducir el contenido involucrándolos un poco, con un tema real con el que se sientan indentificados y en el que estarán atentos para ver qué equipo realiza más deporte en una semana.

Esta es la tabla que explicará el maestro en la pizarra y a partir de la cual obtendrán todos los datos.

xi	fi	Fri	Fi	xifi
0
1
2
3...

A esta tabla le podemos añadir una serie de factores de dispersión como son la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. Datos con los que ya podemos emitir una serie de juicios.

Ejercicios interactivos de tablas estadísticas

Este enlace contiene ejercicios para alumnos ya un poco más mayores.

Proyecto Gaus
El proyecto Gaus es otro material bastante interesante para usar en clase en el que aparecen gran variedad de ejercicios, diseñados tanto para ordenadores como pizarras digitales para trabajar de forma diferente y creativa con los alumnos. Al igual que el proyecto de descartes.

Reflexiones

El lenguaje gráfico es universal, además es un recurso visual que usamos en campos muy diversos como son el deporte, la economía, medicina, etc.

Aporta información en diferentes perspectivas y diferentes datos con solo mirarlos.

Por otro lado, con los resultados estadísticos podemos hacer previsiones.

Es fácil de interpretar y es una fuente de información que requiere muy poco tiempo.

Al hora de usar las TIC en el aula, como por ejemplo applets matemáticos, para desarrollar los distintos contenidos debemos elegir nuestros recursos, no por azar sino, razonadamente en función de unos objetivos.
Las TIC tienen sus ventajas, como el simple hecho de que se trata de una gran ventaja hacia el mundo educativo, al usarlo debemos aprovechar el interés que meustran los alumnos en un principio, interés que luego también tendremos que mantener, por lo que es bueno diversificar, que el alumno no sepa lo que se va a encontrar en clase por ejemplo.
Pero al igual que ventajas tiene desventajas como que los alumnos se distraigan, se necesita mucha más preparación por parte del maestro, puede haber problemas de internet, que se torne repetitivo etc. Por lo que debemos intentar darle el mejor uso posible con gran preparación y cuidado.

Amplitud angular y su medida

- Ángulo
Es la parte del plano que se encuentra comprendida entre dos líneas rectas que comienzan en un mismo punto.
El ángulo se suele representar dibujando un arco entre las dos líneas.
Se pueden medir en grados o en radianes.
Y toma como sentido positivo el contrario a las agujas del reloj y como sentido negativo el mismo que las agujas del reloj.

En esta imágen podemos observar como se han formado dos ángulos, la zona amarilla y la zona verde.

 Aquí se aprencian los lados y el vértice de un ángulo.

Región angular
Se denomina región angular cada una de las dos partes en que queda dividido el plano por un ángulo.

El carácter trigonométrico de ángulo:

Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final.

Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Trigonometría:

La trigonometría es la subdivisión de las matemáticas que se encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.

Tipos de ángulos:

- Convexo:  Mide menos de π rad (entre 0 y 180º sexagesimales).

- Cóncavo: Mide entre de π y 2 π rad  (entre 180 y 360º sexagesimales).

Tipos de ángulos en función de su posición:

- Adyacentes: Tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común

- Consecutivos: Tienen un lado y un vértice común.

- Opuestos por el vértice: Aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.

- Correspondientes: Están formados por dos paralelas y una transversal.

Tipos de ángulos en función de su amplitud:

- Congruentes: Son los que tienen la misma amplitud, es decir, miden lo mismo.

- Complementarios: Son los que suman 90º.

- Suplementarios: Son los que suman 180º.

- Conjugados: Son los que suman 360º.

Ejercicios

Recorrido con giros

Problemas
Ángulos cóncavos y convexos
Triángulos según sus lados

Contenidos que se deben dar en la LOMCE  respecto a la geometría según los diferentes ciclos

Primer ciclo:

4.8. La situación en el plano y en el espacio. 

4.9. La representación elemental del espacio. 

4.10. Descripción de itinerarios: líneas abiertas, cerradas, rectas y curvas. 

4.11. Interpretación de mensajes que contengan informaciones sobre relaciones espaciales. 

4.12. Interpretación y construcción de croquis de itinerarios elementales. 

4.13. Autoconfianza; esfuerzo y constancia en la búsqueda de soluciones a situaciones problemáticas espaciales.

4.1. Formas planas y espaciales: círculo, cuadrado, rectángulo, cubo y esfera. Sus elementos. 

4.2. Identificación de formas planas y espaciales en objetos y espacios cotidianos.

 4.3. Descripción de formas planas y espaciales utilizando el vocabulario geométrico básico. 

4.4. Comparación y clasificación de figuras y cuerpos geométricos con criterios elementales. 

4.5. Formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras por composición y descomposición. 

4.6. Búsqueda de elementos de regularidad en figuras y cuerpos a partir de la manipulación de objetos. 

4.7. Interés y curiosidad por la identificación de las formas y sus elementos característicos.

Segundo ciclo:

4.1. La situación en el plano y en el espacio. Posiciones relativas de rectas. Intersección de rectas. 4.2. Paralelismo, perpendicularidad y simetría. 

4.13. Las líneas como recorrido: rectas y curvas, intersección de rectas y rectas paralelas.

4.14. Descripción de posiciones y movimientos. 

4.15. Representación elemental de espacios conocidos: planos y maquetas. Descripción de posiciones y movimientos en un contexto topográfico. 

4.17. Colaboración activa y responsable en el trabajo en equipo. Interés por compartir estrategias y resultados. 

4.18. Confianza en las propias posibilidades y constancia en la búsqueda de localizaciones y el seguimiento de movimientos en contextos topográficos.

4.3. Exploración e Identificación de figuras planas y espaciales en la vida cotidiana. 

4.4. Identificación y denominación de polígonos atendiendo al número de lados. Cuadrado, rectángulo, triángulo, trapecio y rombo. Lados, vértices y ángulos.

4.5. Comparación y clasificación de ángulos. 

4.6. Clasificación de triángulos atendiendo a sus lados y sus ángulos. 

4.7. Clasificación de cuadriláteros atendiendo al paralelismo de sus lados.

4.9. La circunferencia y el círculo. Centro, radio y diámetro. 

4.10. Cubos, prismas y pirámides. Elementos básicos: vértices, caras y aristas. 

4.11. Cuerpos redondos: cilindro y esfera. 

4.12. Descripción de la forma de objetos utilizando el vocabulario geométrico básico. 

4.16. Interés por la elaboración y por la presentación cuidadosa de productos relacionados con formas planas y espaciales. 

4.17. Colaboración activa y responsable en el trabajo en equipo. Interés por compartir estrategias y resultados.

4.8. Perímetro. Cálculo del perímetro. 

4.17. Colaboración activa y responsable en el trabajo en equipo. Interés por compartir estrategias y resultados.

Tercer ciclo:

4.1. La situación en el plano y en el espacio. 

4.2. Posiciones relativas de rectas y circunferencias. 

4.3. Ángulos en distintas posiciones: consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice… 

4.4. Sistema de coordenadas cartesianas. 

4.5. Descripción de posiciones y movimientos por medio de coordenadas, distancias, ángulos, giros... 4.6. La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas. 

4.10. Perímetro y área. Cálculo de perímetros y áreas. 

4.17. Reconocimiento de simetrías en figuras y objetos. 

4.19. Introducción a la semejanza: ampliaciones y reducciones. 

4.20. Utilización de instrumentos de dibujo y programas informáticos para la construcción y exploración de formas geométricas. 

4.22. Interés y perseverancia en la búsqueda de soluciones ante situaciones de incertidumbre relacionadas con la organización y utilización del espacio. 

4.23. Confianza en las propias posibilidades para utilizar las construcciones geométricas, los objetos y las relaciones espaciales para resolver problemas en situaciones reales. 

4.24. Interés por la presentación clara y ordenada de los trabajos geométricos.

4.7. Figuras planas: elementos, relaciones y clasificación. 

4.8. Concavidad y convexidad de figuras planas. 

4.9. Identificación y denominación de polígonos atendiendo al número de lados. 

4.11. La circunferencia y el círculo. 

4.12. Elementos básicos: centro, radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y sector circular. 

4.13. Formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras por composición y descomposición. 

4.16. Regularidades y simetrías: Reconocimiento de regularidades. 

4.17. Reconocimiento de simetrías en figuras y objetos. 

4.18. Trazado de una figura plana simétrica de otra respecto de un elemento dado. 

4.19. Introducción a la semejanza: ampliaciones y reducciones. 

4.20. Utilización de instrumentos de dibujo y programas informáticos para la construcción y exploración de formas geométricas.

 4.21. Interés por la precisión en la descripción y representación de formas geométricas. 

4.23. Confianza en las propias posibilidades para utilizar las construcciones geométricas, los objetos y las relaciones espaciales para resolver problemas en situaciones reales. 

4.24. Interés por la presentación clara y ordenada de los trabajos geométricos.

Tratamiento didáctico de la superficie y el volumen

La geometría se hace arte

- La superficie 

Es la parte externa de un cuerpo que sirve de delimitación con el exterior. Extensión en la que sólo se consideran dos dimensiones, largo y ancho.

- El volumen 

Es la magnitud que expresa la extensión de un cuerpo en tres dimensiones, largo, alto y ancho. Es una magnitud escalar definida como la extensión en tres dimensiones de una región del espacio.

Tratameinto de la superficie y el volumen:

Las magnitudes son tratadas como:

- Unidimensionales: se compara la superficie o el volumen con el patrón y mediante un proceso aditivo obtenemos el valor . Por ejemplo, un aula la podemos ir llenando de unas cajas cuyas dimensiones sepamos. Si sumamos todas las cajas que hemos metido en el aula teniendo en cuenta su dimensión, obtendremos la dimensión del aula también.

- multidimensionales: obtenemos la superficie y el volumen como  producto de varias medidas longitudinales, es decir multiplicando numeros.

Un friso es una composición geométrica que se genera al trasladar sucesivamente una figura o un grupo de figuras, según el mismo vector de traslación horizontal.

Un mosaico es una composición geométrica que se genera al transformar sucesivamente una figura o grupo de figuras, llamada módulo básico o tesela, que produce el recubrimiento del plano, con las siguientes condiciones:

- No pueden superponerse.

- No pueden dejar huecos sin recubrir.

Un fractal es una figura, que puede ser espacial o plana, formada por componentes infinitos. Su principal característica es que su apariencia y la manera en que se distribuye estadísticamente no varía aun cuando se modifique la escala empleada en la observación. Son figuras que tienen perimetro infinito y area finita.

 

Errores de los alumnos en la medida de la superficie y el volumen:

- Identificación perímetro área: lo alumnos creen que si el perímetro no varia el área permanece constante.

- Si aumentan los lados de una figura la superficie aumenta en la misma proporción; los alumnos no contemplan que el area aumenta a razon del cuadrado del aumento de los lados.

- Si suman los lados de una figura el volumen aumenta en un proporción errónea; los alumnos no contemplan que el volumen aumenta a razon del cubo del aumento de los lados.

Secuencia de constitucion del objeto mental volumen, según Freudenthal:

1.Comenzar con transformaciones de romper y rehacer. Esto se puede trabajar con las fichas de leggo, donde el alumno debe montar y desmontar las piezas.

2.Continuar con la equivalencia de capacidad de recipientes abiertos y volumen de cuerpos sólidos. Para consolidar estos conceptos puede manejar recipientes de la misma capacidad pero con distintas formas, también pueden manejar barras de plastilina, realizando diferentes formas con las mismas cantidades de material.

3.Seguir con transformaciones reales de vaciar para comparar contenidos.  Por ejemplo: se pueden realizar ejercicios en los que el alumno pueda observar que dos botellas de diferente forma pueden tener la misma capacidad pasando el líquido que hay en una botella a otra, para que vean que tienen la misma capacidad de volumen.

4.Abordar las transformaciones que conservan y no conservan el volumen.  Esto se peude realizar con demostraciones sencillas como por ejemplo llenar un globo de helio. Al cabo de un tiempo los alumnos podrán ver que éste se habrá desinflado, por lo que no conservará su volumen inicial.

Ejercicios

Un recurso muy interesante a usar en este tema si se dispone de ordenador es geogebra.

Es básicamente un procesador geométrico, es decir, un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, cálculo y álgebra.

Con este programa pueden realizarse construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas, segmentos, vectores, cónicas, etc., mediante el empleo directo de herramientas operadas con el ratón o la anotación de comandos en la Barra de Entrada, con el teclado o seleccionándolos del listado disponible.

GEOGEBRA

Ejercicios de superficie y volumen:

Áreas y volúmenes

Perímetros en polígono regulares e irregulares

Ésta última página es bastante interesante para trabajar los polígonos regulares e irregulares con los alumnos de tercer ciclo, ya que explica qué es el perímetro de cada uno y a continuación proporciona una serie ejercicios bastante prácticos y entretenidos. 

Además a la mayoría de los alumnos, si disponemos de ordenadores en el aula, les motivará bastante usarlo, lo cual también influye a la hora de realizar la actividad. 

Se podría llevar a cabo tanto de manera grupal como individual, aunque esto depende ya del gusto de cada maestro y de los materiales que dispongan en clase.

Aunque en un principio, en mi opinión, la actividad se debería de explicar de forma conjunta, con ejemplos para que una vez los alumnos lo hayan entendido sepan guiarse por sí mismos.

Un ejercicio sencillo y práctico en el que los alumnos puedan asimilar y razonar el concepto de volumen es que éstos vayan llenando diferentes globos de agua, cada uno con una forma y capacidad distinta,  que les vaya proporcionando el profesor.

Reflexiones

Debemos realizar siempre ejercicios con nuestros alumnos que sean prácticos, haciéndoles protagonistas de su aprendizaje a través de la manupulación de materiales en diferentes actividades para que ellos mismo se puedan dar cuenta de los diferentes conceptos, como se explica por ejemplo en el apartado de la secuenciación de constitución de Freudenthal.

Por ello opino que en estos temas primero realicemos este tipo actividades con los alumnos y una vez hayan asimilado dichos conceptos, realizaremos con ellos los ejercicios que aparecen en el libro, bastantes teóricos en la mayoría de las ocasiones y sin relación alguna con el mundo real que les rodea.